Ensino e Aprendizagem de

Trissecção de um ângulo

 

                                                  História da Trissecção de um ângulo¹

Os séculos V e IV a.C. constituíram um período extremamente ativo da matemática no mundo grego. Aproximadamente neste período, têm início os três problemas clássicos da matemática grega. Esses problemas ficaram conhecidos como duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo, no qual, aqui iremos abordar apenas a trissecção de um ângulo qualquer. Aparentemente de enunciados simples, são problemas geométricos que envolvem construções utilizando unicamente régua não graduada e compasso. Esses problemas fizeram história e são os “três famosos problemas da antiguidade”. Mas a fama, justa com certeza, se deveu a um pequeno e importante detalhe: os gregos e os pósteros não conseguiram resolver os problemas com a restrição imposta, a de usar exclusivamente a régua e o compasso. As tentativas de solucionar os problemas, todas infrutíferas, geraram paralelamente a criação de instrumentos diversos da régua e do compasso que solucionavam os problemas. No século XIX, mais de dois mil anos depois, os matemáticos finalmente deram uma solução aos problemas. Solução não muito satisfatória: eles eram impossíveis. Demonstrava-se que os três famosos problemas da antiguidade grega, a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo eram impossíveis de serem resolvidos com a utilização exclusiva da régua e do compasso.

 

 

                     A Trissecção de um ângulo qualquer consiste em, dado um ângulo, construir um ângulo com um terço da sua amplitude. Abaixo segue um exemplo de Trissecção do Ângulo, construído a partir do método desenvolvido por Arquimedes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 1. A trissecção de ângulo

 

 

 

                                                                         

 

 

Trissecção do Ângulo (Arquimedes)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         Figura 2. Exemplo de Trissecção de ângulo pelo método de Arquimedes

 

                       

Para realizar a trissecção de um ângulo AÔB, podemos proceder da seguinte maneira (Figura 3): Utilizando o ponto O como centro, trace um círculo de raio r qualquer. Prolongue:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                           

 

                                                                              Figura 3. O mecanismo proposto por Sousa (2001)²

 

Utilizando este mecanismo podemos trissectar o ângulo agudo como ilustra o seguinte esquema, onde o ângulo α é a terça parte do ângulo β:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                  Figura 4. Utilizando o mecanismo.

 

 

 

Atividades:

 

 

1- Neste momento os alunos deverão construir um trissector com materiais concretos que acharem mais adequados.

 

 

2- Após utilize o instrumento disponível no site e realize a trissecção de um ângulo desejado.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Instruções para utilizar o mecanismo acima:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3- Construir no software GeoGebra o mecanismo trissector de um ângulo. Abaixo uma construção para exemplificar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- Após as devidas construções, explorar a ferramenta ângulo amplitude fixa para realizar a trissecção de um ângulo.

 

 

 

 

 

 

 

 

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¹Resumo artigo do Os três problemas gregos: uma introdução aos teoremas das impossibilidades de Ana Luiza Maksoud Elias e Sérgio Volchan disponível em: <www.puc-rio.br/.../MAT-Ana%20Luiza%20Maksoud%20Elias.pdf.>. Acesso em: 25 ago. 2013.

 

²SOUSA, J. M. R. Trissecção do ângulo e Duplicação do Cubo: as Soluções na Antiga Grécia. 2001. 114 f. Tese (Mestrado em Matemática – Fundamentos e Aplicações) – Departamento de Matemática Pura. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Disponível em: <http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/pdf.html>. Acesso em: 20 ago. 2013.